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\documentclass[10pt]{article} 

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%%文档的题目、作者与日期
\author{王立庆（2022级数学与应用数学1班）}
\title{复变函数教学大纲}
%\date{\vspace{-3ex}}
\renewcommand{\today}{\number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日}
%\date{2020 年 8 月 28 日}

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\begin{document}

\maketitle

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\section*{使用教材}
\begin{enumerate}\itemsep0em 
\item 拉尔斯.V.阿尔福斯，复分析，机械工业出版社，2022年2月第一版。
\end{enumerate}

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\section*{参考文献}
\begin{enumerate}\itemsep0em 
\item  梁昆淼，数学物理方法，高等教育出版社，2020年11月第五版。
\item  钟玉泉，复变函数论，高等教育出版社，2021年3月第五版。
\item  Tristan Needham, Visual Complex Analysis, Oxford University Press, 2023. 
\item  William T. Shaw, Complex Analysis with Mathematica, Cambridge University Press, 2008. 
\item  Robert E. Greene, Steven G. Krantz, Function Theory of One Complex Variable, 单复变函数论，高等教育出版社，2017年1月第一版。

\end{enumerate}

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\section*{时间地点}
\begin{enumerate}
\itemsep0em 
\item 上课时间地点：周四下午9-10节，五教105.
\item 答疑时间地点：周二下午7-8节，一教210. 
\end{enumerate}

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\section*{课程成绩}
\begin{enumerate}
\item  平时成绩 100\%, 包括课堂考勤、课外作业、阶段测验、期末考查。
\begin{enumerate}\itemsep0em 
\item[1.1.] 课堂考勤10次，共20分。
\item[1.2.] 课外作业15次，共30分。
\item[1.3.] 阶段测验2次，共20分。
\item[1.4.] 期末考查1次，共30分。
\end{enumerate}

%\item  期末成绩 60\%, 计算题和应用题。

\end{enumerate}

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\section*{主要内容}
\begin{enumerate}\itemsep0em 
\item 复数运算的代数与几何意义，用单位球面表示复数。编程计算。 %chapter 1
\item 解析函数的概念，判断收敛幂级数，指数函数，三角函数，对数函数，反三角函数。 %chapter 2
\item 共形映照的概念，线性变换，关于圆周的对称，初等函数的共形映照。编程计算。 %chapter 3
\item 柯西积分定理，柯西积分公式，留数定理，幅角原理，计算定积分，调和函数，极大模原理，反射原理。 %chapter 4
\item 泰勒展开，洛朗展开，亚纯函数，部分分式展开。 %chapter 5
\item 无穷乘积，伽马函数，斯特林公式，黎曼zeta函数，正规族的概念。 %chapter 5
\item 黎曼映照定理，施瓦茨-克里斯托费尔公式，将上半平面映照为矩形和三角形。编程计算。 %chapter 6
\item 调和函数，平均值性质，迪利克雷问题，次调和函数，多连通区域的共形映照。 %chapter 6
\item 单周期函数，傅里叶展开，双周期函数，周期模，单位模变换，典型基，椭圆函数的一般性质。 %chapter 7
\item 魏尔斯特拉斯P-函数，双周期的性质，微分方程，模函数。 %chapter 7
\item 解析延拓的概念，层的概念，全局解析函数的概念，单值性定理，代数函数的概念。 %chapter 8
\item 皮卡定理，线性微分方程，正则奇点，超几何微分方程，超几何函数。编程计算。 %chapter 8

\end{enumerate}



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\newpage 
\section*{课时安排}

\begin{table}[ht!]\centering
\begin{tabular}{|p{1.5cm}|p{7cm}|p{3.5cm}|}   \hline 
周 & 章节	&	课时（理论+实践）		\\ \hline \hline 
1&第一章：复数	&	2=1+1		\\ \hline 
2&第二章：复变函数	&	2=2+0		\\ \hline 
3-4&第三章：解析函数的映照	&	4=3+1		\\ \hline 
5-6&第四章：复积分	&	4=3+1		\\ \hline 
7-9&第五章：级数与无穷乘积	&	6=6+0		\\ \hline 
10-11&第六章：共形映照与迪利克雷问题	&	4=2+2		\\ \hline 
12-13&第七章：椭圆函数	&	4=4+0		\\ \hline 
14-15&第八章：全局解析函数	&	4=3+1		\\ \hline 
15&期末考查	&	2=2+0		\\ \hline \hline 
&共计	&	32=26+6		\\ \hline 
\end{tabular}
\end{table}



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%\newpage
%\section*{授课计划}
%
%%\begin{table}[ht!]\centering
%\begin{tabular}
%{|p{0.8cm}|p{0.5cm}|p{6.6cm}|p{8.5cm}|}  \hline 
%Week	&No	& Chapter			& Section \\ \hline 
%1	&1.1	& Complex Numbers				&	The Algebra of Complex Numbers	 \\  \hline
%	&1.2	& 				&	The Geometric Representation of Complex Numbers	 \\  \hline
%2	&2.1	& Complex Functions			&	Introduction to the Concept of Analytic Function	 \\  \hline
%	&2.2	& 				&	Elementary Theory of Power Series	 \\  \hline
%	&2.3	& 				&	The Exponential and Trigonometric Functions	 \\  \hline
%3	&3.1	& Analytic Functions As Mappings &	Elementary Point Set Topology	 \\  \hline
%	&3.2	& 				&	Conformality	 \\  \hline
%4	&3.3	& 				&	Linear Transformations	 \\  \hline
%	&3.4	& 				&	Elementary Conformal Mappings	 \\  \hline
%5	&4.1	& Complex Integration		&	Fundamental Theorems	 \\  \hline
%	&4.2	& 				&	Cauchy's Integral Formula	 \\  \hline
%	&4.3	& 				&	Local Properties of Analytical Functions	 \\  \hline
%	&4.4	& 				&	The General Form of Cauchy's Theorem	 \\  \hline
%6	&4.5	& 				&	The Calculus of Residues	 \\  \hline
%	&4.6	& 				&	Harmonic Functions	 \\  \hline
%	&		& Midterm	&		 \\  \hline
%7	&5.1	& Series and Product Developments	&	Power Series Expansions	 \\  \hline
%8	&5.2	& 				&	Partial Fractions and Factorization	 \\  \hline
%9	&5.3	& 				&	Entire Functions	 \\  \hline
%	&5.4	& 				&	The Riemann Zeta Function	 \\  \hline
%	&5.5	& 				&	Normal Families	 \\  \hline
%10	&6.1	& Conformal Mapping, Dirichlet's Problem	&	The Riemann Mapping Theorem	 \\  \hline
%	&6.2	& 				&	Conformal Mapping of Polygons	 \\  \hline
%11	&6.3	& 				&	A Closer Look at Harmonic Functions	 \\  \hline
%	&6.4	& 				&	The Dirichlet Problem	 \\  \hline
%	&6.5	& 				&	Canonical Mappings of Multiply Connected Regions	 \\  \hline
%	&		& Midterm	&		 \\  \hline
%12	&7.1	& Elliptic Functions		&	Simply Periodic Functions	 \\  \hline
%	&7.2	& 				&	Doubly Periodic Functions	 \\  \hline
%13	&7.3	& 				&	The Weierstrass Theory	 \\  \hline
%14	&8.1	& Global Analytic Functions	&	Analytic Continuation	 \\  \hline
%	&8.2	& 				&	Algebraic Functions	 \\  \hline
%15	&8.3	& 				&	Picard's Theorem	 \\  \hline
%	&8.4	& 				&	Linear Differential Equations	 \\  \hline
%	&		&Final Exam	& \\  \hline
%\end{tabular}
%%\end{table}
%
%%\vspace{4cm}
%
%
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%\newpage
\section*{授课计划}

%\begin{table}[ht!]\centering
\begin{tabular}
{|p{1cm}|p{1cm}|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{3cm}|}  \hline 
周	&章节	& 章名称			& 节名称 & 作业 \\ \hline 
1	&1.1	& 	复数	&	复数的代数运算 &复变函数作业1 	 \\  \hline
	&1.2	& 				&	复数的几何表示 & 	 \\  \hline
2	&2.1	& 复变函数			&	解析函数的概念 &复变函数作业2 	 \\  \hline
	&2.2	& 				&	幂级数初步知识	&  \\  \hline
	&2.3	& 				&	指数函数和三角函数 & 	 \\  \hline
3	&3.1	& 解析函数的映照 &	点集拓扑初步	&复变函数作业3A  \\  \hline
	&3.2	& 				&	共形性质	&  \\  \hline
4	&3.3	& 				&	线性变换	&复变函数作业3B  \\  \hline
	&3.4	& 				&	共形映照初步 & \\  \hline
5	&4.1	& 复积分		&	基本定理 &复变函数作业4A 	 \\  \hline
	&4.2	& 				&	柯西积分公式 &	 \\  \hline
	&4.3	& 				&	解析函数的局部性质 &	 \\  \hline
	&4.4	& 				&	柯西积分定理的一般形式 &	 \\  \hline
6	&4.5	& 				&	留数的计算	 &复变函数作业4B \\  \hline
	&4.6	& 				&	调和函数 &	 \\  \hline
	&		& 测验			&	&	 \\  \hline
7	&5.1	& 级数与无穷乘积	&	幂级数展开 &复变函数作业5A	 \\  \hline
8	&5.2	& 				&	部分分式与因式分解 &复变函数作业5B	 \\  \hline
9	&5.3	& 				&	整函数 &复变函数作业5C	 \\  \hline
	&5.4	& 				&	黎曼Zeta函数 &	 \\  \hline
	&5.5	& 				&	正规族 &	 \\  \hline
10	&6.1	& 共形映照与迪利克雷问题	&	黎曼映照定理 &复变函数作业6A	 \\  \hline
	&6.2	& 				&	多边形的共形映照 &	 \\  \hline
11	&6.3	& 				&	调和函数的进一步研究 &复变函数作业6B	 \\  \hline
	&6.4	& 				&	迪利克雷问题 &	 \\  \hline
	&6.5	& 				&	多连通区域的典型映照 &	 \\  \hline
	&		& 测验	&		&  \\  \hline
12	&7.1	& 椭圆函数		&	单周期函数	 &复变函数作业7A \\  \hline
	&7.2	& 				&	双周期函数	 & \\  \hline
13	&7.3	& 				&	魏尔斯特拉斯理论 &复变函数作业7B	 \\  \hline
14	&8.1	& 全局解析函数	&	解析延拓 &复变函数作业8A	 \\  \hline
	&8.2	& 				&	代数函数 &	 \\  \hline
15	&8.3	& 				&	皮卡定理 &复变函数作业8B	 \\  \hline
	&8.4	& 				&	线性微分方程 &	 \\  \hline
	&		&期末考查	& & \\  \hline
\end{tabular}
%\end{table}

%\vspace{4cm}




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\section*{教学目标}

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\subsection*{第一章：复数 \hfill （2课时）}
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|p{4cm}|p{10cm}|}  \hline 
章节 &标题 & 重点和难点 \\ \hline 
1.1 & 复数的代数运算 & 计算复数的代数运算。 \hfill 编程
\newline 复数开根号。
\newline 复数开任意次根号。
\newline 使用几何作图实现复数的加法和乘法运算。 
\newline 证明复数的三角不等式与柯西不等式。（难点）
\newline 使用二阶矩阵的加法和乘法来实现复数的加法与乘法。
\\ \hline 
1.2 & 复数的几何表示 & 用复数方程表示平面几何图形。 \hfill 编程
\newline 使用球极投影表示扩展的复平面。（难点）
\\ \hline 
\end{tabular}

%python的cmath库的官网：\url{https://docs.python.org/3/library/cmath.html}


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\subsection*{第二章：复变函数 \hfill （2课时）}
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|p{4cm}|p{10cm}|}  \hline 
章节 &标题 & 重点和难点 \\ \hline 
2.1 & 解析函数的概念 & 理解解析函数的概念。
\newline 验证柯西-黎曼方程。
\newline 计算多项式的零点的阶。
\newline 计算有理函数的零点和极点的阶。
\newline 计算有理函数的部分分式分解。（难点） 
\\ \hline 
2.2 & 幂级数初步知识 & 使用阿达马公式计算幂级数的收敛半径。
\newline 理解函数列一致收敛的概念。
\newline 证明柯西收敛准则。
\newline 列举一致收敛的应用。 
\newline 证明阿贝尔极限定理。 （难点）
\\ \hline 
2.3 & 指数函数和三角函数 & 理解指数函数的定义。
\newline 计算指数函数的周期。
\newline 理解三角函数的定义。
\newline 理解对数函数的定义。（难点）
\newline 理解幅角的定义。
\newline 用对数函数表示反三角函数。  \hfill 编程
\\ \hline 
\end{tabular}


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\subsection*{第三章：解析函数作为复平面的映照 \hfill （4课时）}
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|p{4cm}|p{10cm}|}  \hline 
章节 &标题 & 重点和难点 \\ \hline 
3.1 & 点集拓扑初步 & 了解度量空间的连通集和紧集的概念。
\newline 了解拓扑空间和连续映照的概念。
 \\ \hline 
3.2 & 共形性质 & 多值函数的单值解析区域的三个例子。
\newline 证明解析函数的共形性质。（难点）
 \\ \hline 
3.3 & 线性变换 & 画出圆族在线性变换下的像。 \hfill 编程
\newline 掌握交比的计算与使用。
\newline 证明交比在线性变换下是不变的。（难点）
\newline 计算点关于关于圆周的对称。
\newline 证明对称原理。（难点）
 \\ \hline 
3.4 & 共形映照初步 & 画出初等函数对应的共形映照。 \hfill 编程
\newline 找出符合要求的共形映照。（难点）
\newline 了解黎曼面的思路。
 \\ \hline 
\end{tabular}



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\subsection*{第四章：复积分 \hfill （4课时）}
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|p{4cm}|p{10cm}|}  \hline 
章节 &标题 & 重点和难点 \\ \hline 
4.1 & 基本定理 & 理解复积分的定义。
\newline 证明矩形上的柯西积分定理。 \\ \hline 
4.2 & 柯西积分公式 & 计算闭曲线绕一点的指标。
\newline 证明柯西积分公式。 \\ \hline 
4.3 & 解析函数的局部性质 & 计算解析函数的零点的阶数。
\newline 将孤立奇点分类为可去奇点、极点和本性奇点。
\newline 解析函数在局部的映照性质。
\newline 证明泰勒定理。
\newline 证明极大模原理。
\newline 证明施瓦茨引理。（难点）
 \\ \hline 
4.4 & 柯西积分定理的一般形式 & 了解单连通区域和多连通区域的概念。
\newline 了解闭曲线相互同调的概念。
\newline 了解柯西积分定理的一般形式。
 \\ \hline 
4.5 & 留数定理 & 证明留数定理。 
\newline 证明幅角原理。
\newline 证明儒歇定理。
\newline 使用留数定理计算定积分。（难点） \hfill 编程
\\ \hline 
4.6 & 调和函数 & 证明调和函数的一些性质。
\newline 证明泊松公式。（难点）
\newline 证明施瓦茨定理。
\newline 证明反射原理。
 \\ \hline 
\end{tabular}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\subsection*{第五章：级数与无穷乘积 \hfill （6课时）}
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|p{4cm}|p{10cm}|}  \hline 
章节 &标题 & 重点和难点 \\ \hline 
5.1 & 幂级数展开 & 证明魏尔斯特拉斯关于一致收敛的解析函数序列的定理。
\newline 证明解析函数能够在圆盘区域内展开成泰勒级数。
\newline 将圆环区域上的解析函数展开成洛朗级数。
 \\ \hline 
5.2 & 部分分式与因式分解 & 将亚纯函数展开成部分分式。（难点）
\newline 使用级数的收敛性来判断无穷乘积的收敛性。
\newline 了解整函数的典型乘积分解公式。
\newline 证明伽马函数的一些性质。
\newline 了解斯特林公式的证明思路。（难点）
 \\ \hline 
5.3 & 整函数 & 了解整函数的阶数与亏格的概念。
\newline 了解整函数的詹森公式与阿达玛定理。
 \\ \hline 
5.4 & 黎曼zeta函数 & 证明黎曼zeta函数的乘积展开。 
\newline 将黎曼zeta函数扩展到整个复平面。
\newline 了解黎曼zeta函数满足的函数方程。（难点）
 \\ \hline 
5.5 & 正规族 & 了解正规族的概念。
\newline 了解等度连续与阿泽拉-阿斯科利定理。
\newline 了解正规族的等价条件。
 \\ \hline 
\end{tabular}


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\subsection*{第六章：共形映照与迪利克雷问题 \hfill （4课时）}
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|p{4cm}|p{10cm}|}  \hline 
章节 &标题 & 重点和难点 \\ \hline 
6.1 & 黎曼映照定理 & 了解黎曼映照定理的证明思路。
 \\ \hline 
6.2 & 多边形的共形映照 & 证明施瓦茨-克里斯托费尔公式。（难点）
\newline 求解析函数将上半平面映照为矩形和三角形。 \hfill 编程
 \\ \hline 
6.3 & 调和函数的进一步研究 & 证明平均值性质推出调和函数。（难点）
\newline 了解哈纳克原理的证明思路。
 \\ \hline 
6.4 & 迪利克雷问题 & 了解迪利克雷问题的叙述。
\newline 了解次调和函数的概念在求解迪利克雷问题中的应用。
 \\ \hline 
6.5 & 多连通区域的典型映照 & 了解调和测度和格林函数在多连通区域的共形映照的应用。
 \\ \hline 
\end{tabular}



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\subsection*{第七章：椭圆函数 \hfill （4课时）}
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|p{4cm}|p{10cm}|}  \hline 
章节 &标题 & 重点和难点 \\ \hline 
7.1 & 单周期函数 & 用指数函数表示单周期函数。
\newline 将单周期函数进行傅里叶展开。
 \\ \hline 
7.2 & 双周期函数 & 理解双周期函数的周期模的概念。
\newline 理解单位模变换和模群的概念。
\newline 证明双周期模存在典型基。（难点）
\newline 证明双周期函数的一般性质。
 \\ \hline 
7.3 & 魏尔斯特拉斯理论 & 证明魏尔斯特拉斯P-级数的收敛性。
\newline 证明魏尔斯特拉斯P-函数的双周期性质。
\newline 证明魏尔斯特拉斯P-函数满足的微分方程。（难点）
\newline 了解模函数的概念。
 \\ \hline 
\end{tabular}



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\subsection*{第八章：全局解析函数 \hfill （4课时）}
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|p{4cm}|p{10cm}|}  \hline 
章节 &标题 & 重点和难点 \\ \hline 
8.1 & 解析延拓 & 了解解析函数的芽和层的概念。
\newline 了解解析函数沿着道路解析延拓的概念。
\newline 了解同伦曲线的概念。
\newline 理解全局解析函数的概念。（难点）
\newline 证明解析延拓的单值性定理。
\newline 了解多值函数的分支点的概念。
 \\ \hline 
8.2 & 代数函数 & 计算两个多项式的结式。 \hfill 编程
\newline 了解代数函数的概念。
\newline 解析函数成为代数函数的判别条件。（难点）
 \\ \hline 
8.3 & 皮卡定理 & 了解皮卡定理的含义。
 \\ \hline 
8.4 & 线性微分方程 & 了解线性微分方程的常点和奇点的概念。
\newline 了解线性微分方程的正则奇点的概念。
\newline 判断无穷远点是什么类型的奇点。 \hfill 编程
\newline 了解超几何微分方程的含义。
\newline 了解超几何函数的性质。（难点）
 \\ \hline 
\end{tabular}




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\end{document}


